Javnosti u Hrvatskoj, ali i širom bivše Jugoslavije, Bašić će ostati najviše upamćen po ulozi gospodina Fulira iz kultnog hrvatskog filma "Tko pjeva zlo ne misli" iz 1970. godine.

Bašić je prije nekoliko godina nesrećno pao i doživio lom bedrene kosti, zbog čega se posljednjih godina teško kretao i većinu vremena provodio u stanu Zagrebu, gdje je rođen 1930. godine.

U jednom od svojih posljednjih intervjua koji je dao za Anadoliju izjavio je:

"Mislim da se ubrzo vraća vrijeme kada ćemo svi moći opet negdje zajedno raditi, ja malo teže, ali mislim da mlađu generaciju opet čeka okupljanje najboljeg u glumačkom i režijskom smislu što je proizvela i Srbija, BiH i Hrvatska. Vjerujem u svijetlu budućnost saradnje naših zemalja".

Relja je nakon Drugog svjetskog rata diplomirao glumu na Akademiji dramske umjetnosti u Zagrebu. Ostvario je veliki broj uloga na filmu i pozorištu. Glumio je i u dva kultna filma Hujrudina Šibe Krvavca "Most" i "Valter brani Sarajevo".

Osim uspješne karijere na prostoru bivše Jugoslavije, Bašić je ostvario i značajnu saradnju sa nekim od najvećih imena evropskog i svjetskog filma.