Cvejić je rođen u Beogradu 25. avgusta 1946. godine. 

Maturirao je u Petoj beogradskoj gimnaziji 1965. i iste godine upisao glumu na Fakultetu dramskih umjetnosti u Beogradu.

Najviše je sarađivao sa rediteljem Dejanom Mijačem, kao glumac, a kasnije i kao producent brojnih predstava.

Gostovao je i na drugim pozorišnim scenama, između ostalog i u Zvezdara teatru – pozorištu u čijem je osnivanju i sam učestvovao.

Ostaće upamćen po ulozi Baneta Bumbara u popularnoj seriji "Grlom u jagode" i kao Lister iz "Porodičnog blaga", dok ga se mnogi sjećaju i po ulogama u ostvarenjima "Bela lađa", "Sinđelići", "Jagoda u supermarketu", "Biće bolje" i drugim.

Kao gost je igrao je i u Pozorištu Atelje 212 i Zvezdara teatru.

Branko je iza sebe ostavio suprugu, sina Žarka, ćerku Bojanu i unuku.