Klajn je rođen 1937. godine u Beogradu. Završio je studije italijanskog jezika i književnosti na Filološkom fakultetu u Univerziteta u Beogradu 1961. godine, piše RTS.

Kao redovni profesor na ovom fakultetu predavao je italijanski jezik i uporednu gramatiku romanskih jezika. Osim romanistike, područje Klajnovog rada je i normativna gramatika i standardizacija savremenog srpskog jezika.

Klajnova najznačajnija djela su: "Uticaji engleskog jezika u italijanskom“, "Tvorba reči u savremenom srpskom jeziku“, "Italijansko-srpski rečnik“ za koji je dobio nagradu Vlade Republike Italije.

"Rečnik jezičkih nedoumica“ najčešće je štampana knjiga koju potpisuje Klajn.

Od prvog broja je bio glavni urednik lingvističkog časopisa "Jezik danas“, koji izdaje Matica srpska. Od 1974. godine pisao je rubrike o problemima savremenog jezika, najpre u "Borbi“, zatim u "Politici“ i "Ilustrovanoj politici“, kao i u NIN-u.

Objavio je veći broj radova u lingvističkim časopisima, kao i 18 knjiga.

Preveo je više knjiga sa italijanskog i engleskog jezika na srpski.

Za dopisnog člana Srpske akademije nauka i umjetnosti izabran je 1997, a za redovnog 2003. godine.

Bio je i član Savjeta Vukove zadužbine, Odbora za standardizaciju srpskog jezika i predsjednik Komisije za odnose sa javnošću i rešavanje neodložnih pitanja, kao i saradnik Matice srpske.